Certamente. Semmai il problema è nei confronti quali documenti può essere esercitata tale istanza, ma non è questa la sede per formulare una così ampia (e complessa) risposta. 

Nel dettaglio si ricorda che come disposto dall'art. 36 comma 1 del codice civile sull'ordinamento e amministrazione delle associazioni non riconosciute (come del resto le sigle sindacali, anche quelle più grandi) "l'ordinamento interno e l'amministrazione delle associazioni non riconosciute come persone giuridiche sono regolati dagli accordi degli associati". Quindi occorre indagare sullo statuto sull'organizzazione del sindacato per interpretare e conoscere il proprio funzionamento interno. Ad ogni modo, i sindacati sono sempre così strutturati e oltre a rappresentare gli iscritti della provincia sono muniti del correlato potere di rappresentanza processuale.

Il caso più affrontato è quello sulla legittimazione per reprimere le condotte antisindacali, a cui si rinvia.
A livello giurisprudenziale il Consiglio di Stato e la Cassazione hanno espresso da sempre un orientamento univoco. Infatti tenendo conto dell'orientamento predominante della giurisprudenza (Cassazione civile, sez. I, 10 ottobre 2013, n. 23088) le articolazioni locali delle associazioni sindacali assurgono ad enti dotati di legittimazione negoziale e processuale autonome. Inoltre la giurisprudenza amministrativa ha avuto modo di affermare che "sussiste il diritto dell'organizzazione sindacale ad esercitare il diritto di accesso per la cognizione di documenti che possano coinvolgere sia le prerogative del sindacato quale istituzione esponenziale di una determinata categoria di lavoratori, sia le posizioni di lavoro di singoli iscritti nel cui interesse e rappresentanza opera l'associazione" e dunque, di azionare il relativo giudizio (Consiglio di Stato, sez. VI, 23 gennaio 2012, n. 1034).

Pertanto le sezioni territoriali delle sigle sindacali possono assolutamente formulare istanze di accesso per conto dei propri iscritti, oltre a poter portare in un eventuale giudizio l'impugnazione dei provvedimenti di diniego.